Heim

Hamilton-Formalismus

Der Hamilton-Formalismus (auch Hamilton'sche Mechanik) bezeichnet einen Formalismus der klassischen Mechanik.

Der Formalismus wurde 1833 von dem irischen Mathematiker William Rowan Hamilton eingeführt und spielt sowohl in der Quantenmechanik als auch in der statistischen Physik eine wichtige Rolle. Er verwendet den im Jahr 1788 von Joseph Louis Lagrange eingeführten Lagrange-Formalismus und ist mit diesem gleichmächtig. Im Gegensatz zu diesem werden die zu betrachtenden mechanischen Systeme jedoch nicht in einem n-dimensionalen Konfigurationsraum, sondern in einem 2n-dimensionalen Phasenraum formuliert. Dadurch können in vielen physikalischen Problemstellungen tiefere Einblicke in die mathematische Struktur gewonnen werden. Die Bewegungsgleichungen des Hamilton-Formalismus (Hamilton'sche Bewegungsgleichungen) sind invariant unter bestimmten Transformationen, den sogenannten kanonischen Transformationen. Auf der Grundlage dieser Eigenschaft, lässt sich der Hamilton-Formalismus zum Hamilton-Jacobi-Formalismus erweitern.

Inhaltsverzeichnis

Beziehung zum Lagrange-Formalismus

Der Übergang vom Lagrange-Formalismus zum Hamilton-Formalismus erfolgt durch eine Variablentransformation der generalisierten Geschwindigkeiten zu generalisierten Impulsen. Der Übergang von der Lagrange-Funktion zur Hamilton-Funktion erfolgt dabei durch eine Legendre-Transformation, wodurch die Transformation reversibel ist und somit keine Information verliert.

Legendre-Transformation

Sei die Lagrange-Funktion eines physikalischen Systems mit n Freiheitsgraden in generalisierten Koordinaten q und deren zeitlichen Ableitungen (generalisierte Geschwindigkeiten) gegeben:

Die generalisierten Impulse p sind die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion nach den entsprechenden generalisierten Geschwindigkeiten:

Im einfachsten Fall der Translationsbewegung eines Massenpunktes entspricht der generalisierte Impuls dem physikalischen Impuls der Masse und im Falle einer Rotationsbewegung dem Drehimpuls. Durch die Umformung nach den generalisierten Geschwindigkeiten, können diese als Funktionen der generalisierten Koordinaten und Impulse aufgefasst und schließlich in die Legendre-Transformation eingesetzt werden. Für die Hamilton-Funktion gilt damit:

Hamiltonsche Bewegungsgleichungen

Die zu den Bewegungsgleichungen des Lagrange-Formalismus äquivalenten Bewegungsgleichungen des Hamilton-Formalismus sind die Hamilton-Gleichungen:

Sie sind ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung. Die Gleichungen vereinfachen sich, falls die Hamiltonfunktion von einer Variablen, beispielsweise nicht abhängt. Dann liegt eine Symmetrie vor: die Hamiltonfunktion ist invariant unter der Verschiebung von Ungekehrt können bei Vorliegen einer Symmetrie die Orts- und Impulsvariablen so gewählt werden, dass die Hamilton-Funktion von einer Variablen q1 nicht abhängt. Dann ist einfach Das System ist vollständig integrabel, wenn die Hamiltonfunktion nur von den Impulsen abhängt. Dann gilt

Beispiele

Harmonischer Oszillator

Für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator gilt für die kinetische Energie T und die potentielle Energie V

Der konjugierte Impuls ist

,

und die Hamilton-Funktion ist

Sie ist eine Funktion der Koordinaten und Impulse.

Die Bewegungsgleichungen sind

Ableiten von und dann einsetzen:


mit der Lösung , mit und a,b = konst.

Betrachtet man die Gleichungen für dieses Beispiel genauer, so erkennt man sofort den physikalischen Hintergrund:

Siehe auch