Heim

Anfangswertproblem

Als Anfangswertproblem (AWP) (manchmal auch als Anfangswertaufgabe (AWA) oder Cauchy-Problem genannt) bezeichnet man in der Analysis eine wichtige Klasse von Differentialgleichungen, bei denen aus vorgegebenen Anfangsdaten, nämlich dem Anfangswert y0 und einem Zeitpunkt , die Lösung y einer gegebenen Differentialgleichung berechnet werden soll, die zusätzlich y(t0) = y0 genügt. Genauer heißt

Anfangswertproblem 1. Ordnung.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeine Definition

Gegeben seien und eine Funktion . Der Definitionsbereich D von f sei hierbei eine Teilmenge von , worin ein Intervall bezeichnet, welches t0 umfasst. Dann heißt

ein Anfangswertproblem k-ter Ordnung. Jedes Anfangswertproblem k-ter Ordnung lässt sich umschreiben in ein Anfangswertproblem 1. Ordnung.

Ein spezielles Anfangswertproblem ist das Riemann-Problem, bei dem die Anfangsdaten konstant sind bis auf eine Unstetigkeitsstelle.

Anfangswertprobleme treten zum Beispiel in den Naturwissenschaften auf, wenn für natürliche Prozesse ein mathematisches Modell gesucht wird.

Wichtige Sätze, die die Lösbarkeit von Anfangswertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen betreffen, sind der (lokale) Existenzsatz von Peano und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf. Ein Hilfsmittel ist die grönwallsche Ungleichung.

Beispiel

Das Anfangswertproblem

welches zu

korrespondiert, hat unendlich viele Lösungen, nämlich neben der trivialen Lösung

auch noch für jedes die Lösungen

sowie

Damit Anfangswertprobleme eindeutige Lösungen besitzen, sind Zusatzeigenschaften (an f) nachzuweisen. Ein hinreichendes Kriterium hierfür liefert der Satz von Picard-Lindelöf, welches in diesem Beispiel jedoch verletzt ist.

Abstraktes Cauchy-Problem

Seien X ein Banachraum und ein linearer Operator. Die Fragestellung, ob bei gegebenem und eine differenzierbare Funktion mit für alle t > 0 existiert, die das Anfangswertproblem

erfüllt, bezeichnet man als abstraktes Cauchy-Problem. Zu ihrer Lösbarkeit benötigt man die Theorie der stark stetigen Halbgruppen bzw. der analytischen Halbgruppen.

Numerische Lösung

Zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen werden Einschritt- oder Mehrschritt-Verfahren eingesetzt. Dabei wird die Differentialgleichung mittels einer Diskretisierung approximiert.

Literatur