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Die Poisson-Gleichung (nach Siméon Denis Poisson) beschreibt ein Randwertproblem, bei dem die Ableitungen eines Vektorfeldes auf der Oberfläche eines Volumens gegeben sind. Anwendung findet diese beispielsweise in der Elektrostatik (Gaußsches Gesetz). Ebenso kann man das Gravitationspotential einer gegebenen Massenverteilung bestimmen.
Die Poisson-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung:
oder kürzer
oder
d. h., in der Poissongleichung wird der Laplace-Operator Δ, angewendet auf eine Funktion Φ, gleich f gesetzt.
Die homogene Form (also für f = 0) der Poisson-Gleichung ist die Laplace-Gleichung.
Da das elektrische Feld ein konservatives Feld ist, kann es über den Gradienten eines Potentials ausgedrückt werden, mit
Mit Anwendung eines weiteren Nabla-Operators ergibt sich
Gemäß der ersten Maxwell-Gleichung gilt jedoch auch
wobei die Ladungsdichte und ε0 die Permittivität sind.
Damit folgt für die Poisson-Gleichung des elektrischen Feldes
Die Gravitationsbeschleunigung ergibt sich aus dem Gravitationsgesetz zu
Der Fluss durch die Oberfläche eines beliebigen Volumens ist dann
wobei der Normalenvektor ist. In Kugelkoordinaten gilt
woraus folgt
Aus einer durch eine Massendichte beschriebenen Massenverteilung ergibt sich die Gesamtmasse zu
Damit folgt
Mit dem Satz von Gauß ergibt sich für das Integral jedoch auch
und somit
Da die Form des Volumens beliebig ist, müssen die Integranden gleich sein, sodass
ist. Die Gravitation stellt ein konservatives Kraftfeld dar, sodass die Beziehung
gilt. Damit ergibt sich die Poisson-Gleichung der Gravitation zu
wobei sich das Minuszeichen weghebt.