Heim

Nabla-Operator

Der Nabla-Operator ist ein Operations-Symbol, das in der Vektoranalysis benutzt wird, um die drei Differentialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation zu bezeichnen. Er wird durch das Nabla-Symbol bezeichnet oder durch (im englischen Sprachraum ), um seine Ähnlichkeit zu einem Vektor zu betonen. Sein Name stammt von der Bezeichnung eines hebräischen Saiteninstruments, das in etwa die Form dieses Zeichens hatte.

Formal ist der Nabla-Operator ein (Spalten-)Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungsoperatoren sind:

bzw. im 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem:

Dabei sind hier , und die 3 Einheitsvektoren des Koordinatensystems.

Gerechnet wird mit dem Nabla-Operator wie mit einem Vektor, wobei das „Produkt“ von mit einer rechts davon stehenden Funktion f als partielle Ableitung interpretiert wird.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeiner Fall

Im n-dimensionalen Raum liefert das (formale) Produkt von mit einer Funktion (Skalarfeld) deren Gradienten:

Das (formale) Skalarprodukt mit einem Vektorfeld ergibt dessen Divergenz:

Spezialfall im Dreidimensionalen

Im dreidimensionalen Raum mit den kartesischen Koordinaten x, y, z stellen sich die obigen Formeln wie folgt dar:

Das Ergebnis ist ein Vektorfeld, sind die kartesischen Einheitsvektoren des .
also ein Skalarfeld.
also wieder ein Vektorfeld.


Notation mit Subskript

Wirkt der Nablaoperator nur auf bestimmte Komponenten einer Funktion mit einem mehrdimensionalen Argument, so wird dies durch ein Subskript angedeutet. Für eine Funktion mit beispielsweise ist

im Gegensatz zu

.


Rechenregeln

Rechenregeln für den Nabla-Operator lassen sich formal aus den Rechenregeln für Skalar- und Kreuzprodukt zusammen mit den Ableitungsregeln herleiten. Dabei muss man die Produktregel anwenden, wenn der Nabla-Operator links von einem Produkt steht.

Sind und f Skalarfelder (Funktionen) und und Vektorfelder, so gilt:

(Produktregel für Gradient)
(siehe auch Laplace-Operator)

Weitere Rechenregeln siehe unter Gradienten, Divergenz und Rotation.

Literatur

Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Harri Deutsch, 2001, ISBN 3817120052 (Beinhaltet alle hier genannten Eigenschaften, jedoch ohne Beweis.).

Jänich: Vektoranalysis. Springer, 1992, ISBN 354055307 (Beinhaltet nur die Grundlegende Definition.).

Großmann: Mathematischer Einführungskurs für die Physik. Teubner, Stuttgart 1991 (siehe insbesondere Abschnitt 3.6).