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Definitheit

Dieser Artikel erläutert den mathematischen Begriff; zur Definitheit in der Linguistik, siehe Definitheit (Linguistik).

Definitheit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er beschreibt, welche Vorzeichen reelle quadratische Formen annehmen können, die durch Matrizen oder allgemeiner durch Bilinearformen erzeugt werden.

Inhaltsverzeichnis

Definitheit von Bilinearformen und Sesquilinearformen

Es sei V ein Vektorraum über den reellen (oder komplexen) Zahlen.

Eine symmetrische Bilinearform (bzw. eine hermitesche Sesquilinearform ) heißt

positiv definit, falls
positiv semidefinit, falls
negativ definit, falls
negativ semidefinit, falls

jeweils für alle , , gilt. Trifft keine dieser Bedingungen zu, heißt die Form indefinit. In diesem Fall nimmt sowohl positive als auch negative Werte an.

Beispielsweise ist das Standard-Skalarprodukt auf dem (bzw. ) positiv definit.

Definitheit von Matrizen

Jede quadratische Matrix beschreibt eine Bilinearform auf oder eine Sesquilinearform auf . Man nennt die quadratische Matrix deshalb positiv definit, wenn diese Eigenschaft auf die durch die Matrix definierte Bilinearform oder Sesquilinearform zutrifft. Dies ist gleichbedeutend mit der Forderung, dass für alle von Null verschiedenen Vektoren x die Ungleichung

erfüllt ist.

Eine quadratische Matrix ist positiv semidefinit falls

für alle von Null verschieden Vektoren x gilt. Entsprechend definiert man auch die Eigenschaften „negativ definit“ und „negativ semidefinit“. Eine Matrix die weder positiv noch negativ semidefinit ist nennt man „indefinit“.

Positiv definite Matrizen entstehen beispielsweise bei der Beschreibung von Systemen, die auf dem Energieerhaltungssatz basieren. [1]

Definitheitskriterium für allgemeine Matrizen

Eine allgemeine quadratische Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn ihr hermitescher (bzw. symmetrischer) Teil

positiv definit ist. Dabei bezeichnet A * die adjungierte Matrix.

Definitheitskriterium: Eigenwerte

Eine quadratische symmetrische bzw. hermitesche Matrix ist

positiv definit, falls alle Eigenwerte größer als Null sind;
positiv semidefinit, falls alle Eigenwerte größer oder gleich Null sind;
negativ definit, falls alle Eigenwerte kleiner als Null sind;
negativ semidefinit, falls alle Eigenwerte kleiner oder gleich Null sind und
indefinit, falls positive und negative Eigenwerte existieren.

Definitheitskriterium: Hauptminoren

Eine symmetrische bzw. hermitesche Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren von A positiv sind. Entsprechend ist A negativ definit, falls alle Hauptminoren von A positiv sind. A ist also genau dann negativ definit, falls die Vorzeichen der Hauptminoren alternieren, d. h., falls alle ungeraden Hauptminoren negativ sind und alle geraden positiv.

Bemerkungen

Definitheitskriterium: Gaußsches Eliminationsverfahren

Eine quadratische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn der gaußsche Eliminationsprozess bei Diagonalstrategie mit n positiven Pivotelementen durchgeführt werden kann. Diese Bedingung eignet sich vor allem für Fälle, in denen sowieso das gaußsche Eliminationsverfahren angewandt werden muss.

Definitheitskriterium: Cholesky-Zerlegung

Eine symmetrische -Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn es eine Cholesky-Zerlegung gibt mit

A = GGT,

wobei G die Form

hat.

Bedeutung

Quellen

  1. Norbert Köckler, Hans Rudolf Schwarz: Numerische Mathematik. Teubner, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-42960-8, S. 58
  2. IEEE: On Sylvester's Criterion for Positive-Semidefinite Matrices, Transaction on automatic control, Juni 1973, englisch