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Sinus und Kosinus

Dieser Artikel behandelt die mathematischen Funktionen Sinus und Kosinus; zu weiteren Bedeutungen siehe Sinus (Begriffsklärung) und Kosinus (Begriffsklärung).

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion) sind mathematische Funktionen aus der Klasse der trigonometrischen Funktionen.

Inhaltsverzeichnis

Herkunft des Namens

Die lateinische Bezeichnung „Sinus“ heißt soviel wie „Bogen, Krümmung oder Busen“. In dieser Bedeutung wurde es von arabischen Mathematikern übernommen, die es ihrerseits als „jiba“ (جيب) „Tasche, Kleiderfalte“ von indischen Mathematikern entlehnten (Sanskrit „jiva“ ‘Bogensehne‘ - abgeleitet vom Kurvenverlauf einer Sehne, die schraubenförmig um einen Stab gewickelt wird).

Die Bezeichnung „Cosinus“ und später „Kosinus“ entwickelte sich aus complementi sinus, also Sinus des Komplementärwinkels. Diese Bezeichnung wurde zuerst in den umfangreichen trigonometrischen Tabellen verwendet, die von Georg von Peuerbach und seinem Schüler Regiomontanus erstellt wurden [1].

Definitionen

Definition am rechtwinkligen Dreieck

Alle rechtwinkligen Dreiecke, die im Maß der beiden spitzen Winkel übereinstimmen, haben die gleichen Längenverhältnisse der Seiten.

Diese Besonderheit kann ausgenutzt werden, um Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck durchzuführen. Kennt man nämlich die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck, kann man Maße von Winkeln und Längen von Seiten berechnen. Deshalb gibt man den Längenverhältnissen im rechtwinkligen Dreieck besondere Namen.

Die Längenverhältnisse der drei Seiten im rechtwinkligen Dreieck sind nur abhängig vom Maß der beiden spitzen Winkel. Da das Maß eines dieser Winkel das Maß des anderen Winkels festlegt (Die Winkelsumme der beiden spitzen Winkel beträgt stets 90°) hängen die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck nur vom Maß eines der beiden spitzen Winkel ab.

Deshalb definiert man die Längenverhältnisse in Abhängigkeit eines der beiden spitzen Winkel:

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Länge der Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel).

Der Kosinus ist das Verhältnis der Länge der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Länge der Hypotenuse.

Bei den für Dreiecke üblichen Bezeichnungen der Größen (Hypotenuse c) gilt hier:

   und   

Da aus geometrischen Gründen die Hypotenuse die längste Seite ist (denn sie liegt dem größten Winkel, also dem rechten Winkel, gegenüber), gelten auch stets und .

Betrachtet man statt α den gegenüberliegenden Winkel β, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von α ist die Gegenkathete von β und die Gegenkathete von α ist die Ankathete von β, es gilt also

und

Da im rechtwinkeligen Dreieck gilt, folgt

und

.

Auf dieser Beziehung beruht auch die Bezeichnung Kosinus, nämlich der Sinus des Komplementärwinkels.

Aus dem Satz des Pythagoras folgt die Beziehung (Trigonometrischer Pythagoras)

.

Im rechtwinkligen Dreieck lassen sich Sinus und Kosinus nur für Winkel zwischen 0 und 90 Grad definieren.
Für beliebige Winkel ist der Sinus als y-Koordinate und der Kosinus als x-Koordinate eines Punktes am Einheitskreis (s.u.) definiert.
Mittels Potenzreihendarstellung lässt sich die Definition auf komplexe Argumente verallgemeinern.

Definition mit Einheitskreis

Da im rechtwinkeligen Dreieck der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete Werte von 0 bis 90 Grad annehmen kann, sind Sinus und Kosinus zunächst nur für solche Winkel definiert. Für eine allgemeine Definition betrachtet man einen Punkt P mit den Koordinaten (x,y) auf dem Einheitskreis, also x2 + y2 = 1. Der Ortsvektor von P schließt mit der x-Achse einen Winkel α ein. Der Koordinatenursprung (0,0), der Punkt (x,0) auf der x-Achse und der Punkt P(x,y) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt . Die Ankathete des Winkels α ist die Strecke zwischen (0,0) und (x,0) und hat die Länge x, es gilt also

Die Gegenkathete des Winkels α ist die Strecke zwischen (x,0) und(x,y), und hat die Länge y, es gilt also

Die y-Koordinate eines Punktes im ersten Quadranten des Einheitskreises entspricht also dem Sinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der x-Achse, die x-Koordinate dem Kosinus des Winkels. Setzt man diese Definition in den anderen Quadranten fort, so lassen sich Sinus und Kosinus für beliebige Winkel definieren.

Für negative Winkel betrachte man die Beziehung

und

,

aus der sich Sinus und Kosinus für den vierten Quadranten, also Winkel zwischen −90 und 0 Grad berechnen lassen. Der Sinus ist also eine ungerade Funktion, der Kosinus eine gerade.

Für Winkel größer 90 Grad betrachte man die Beziehung

und

,

aus der sich Sinus und Kosinus für den zweiten und dritten Quadranten, also Winkel zwischen 90 und 270 Grad berechnen lassen.

Für Winkel kleiner als -90 Grad und größer als 270 Grad ergeben sich Sinus und Kosinus aus den Beziehungen

und

;

Sinus und Kosinus sind also periodische Funktionen mit Periode 360 Grad.

Durch den Strahlensatz folgt aus der Definition für Sinus und Kosinus, dass die Strecke rechts in der Zeichnung ist.

Aus der Zeichnung ergibt sich offensichtlich die Abschätzung sinα < α für 0 < α < π / 2. Die andere Abschätzung α < tanα ist nicht offensichtlich und muss bewiesen werden: offenbar ist die Fläche A des Kreisbogensegmentes kleiner als das große Dreieck: . Zusammen ergibt sich sinα < α < tanα, also . Hieraus ergibt sich nach dem Sandwichlemma der wichtige Grenzwert .


Wertebereich und spezielle Funktionswerte

Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus

(Gradmaß)
(Bogenmaß)
(Satz des Pythagoras)

Insbesondere folgt daraus und . Diese Ungleichung gilt aber nur für reelle Argumente α; für die über die Potenzreihe definierten komplexen Argumente können Sinus und Kosinus beliebige Werte annehmen.

Verlauf des Sinus in den vier Quadranten

In den vier Quadranten ist der Verlauf der Sinusfunktion folgendermaßen:

Quadrant Gradmaß Bogenmaß Bildmenge Monotonie Konvexität Punkttyp
0 0 Nullstelle, Wendepunkt
1. Quadrant 0 < x < π / 2 positiv: 0 < sinx < 1 steigend konkav
π / 2 1 Maximum
2. Quadrant π / 2 < x < π positiv: 0 < sinx < 1 fallend konkav
π 0 Nullstelle, Wendepunkt
3. Quadrant π < x < 3π / 2 negativ: − 1 < sinx < 0 fallend konvex
3π / 2 − 1 Minimum
4. Quadrant 3π / 2 < x < 2π negativ: − 1 < sinx < 0 steigend konvex


Für Argumente außerhalb dieses Bereiches erhält man den Wert des Sinus daraus, dass der Sinus periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π rad) ist, d. h. . Außerdem gilt .

Verlauf des Kosinus in den vier Quadranten

Der Kosinus ist ein um 90° (bzw. π/2 rad) phasenverschobener Sinus, es gilt .

In den vier Quadranten ist der Verlauf der Kosinusfunktion daher folgendermaßen:

Quadrant Gradmaß Bogenmaß Bildmenge Monotonie Konvexität Punkttyp
0 1 Maximum
1. Quadrant 0 < x < π / 2 positiv: 0 < cosx < 1 fallend konkav
π / 2 0 Nullstelle, Wendepunkt
2. Quadrant π / 2 < x < π negativ: − 1 < cosx < 0 fallend konvex
π − 1 Minimum
3. Quadrant π < x < 3π / 2 negativ: − 1 < cosx < 0 steigend konvex
3π / 2 0 Nullstelle, Wendepunkt
4. Quadrant 3π / 2 < x < 2π positiv: 0 < cosx < 1 steigend konkav

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches erhält man den Wert des Kosinus daraus, dass der Kosinus so wie der Sinus periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π rad) ist, d. h. . Außerdem gilt .

Wichtige Funktionswerte

Winkel α (Grad)
Bogenmaß π
Sinus
Kosinus
Tangens nicht definiert nicht definiert

Statt der Werte kann man sich auch folgende Formeln merken:

Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte

Über die Berechnung der fünften Einheitswurzeln mittels einer quadratischen Gleichung erhält man

Mit Hilfe der Additionstheoreme kann man viele weitere solche Ausdrücke berechnen:

erhält man aus .

Aus und lassen sich dann z. B. und dann rekursiv auch alle , berechnen.

Generell gilt, dass und zumindest dann explizit mit den Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar sind, wenn der Winkel mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, insbesondere also wenn von der Gestalt ist, wobei , und die für Fermatsche Primzahlen sind [2]. In obigem Beispiel von ist und der Nenner gleich

Umkehrfunktion

Da sich zu einem gegebenen Wert ein passender Winkel im ersten oder vierten Quadranten und zu einem gegebenen Wert ein passender Winkel im ersten oder zweiten Quadranten konstruieren lässt, folgt aus diesen geometrischen Überlegungen, dass die Funktionen

und

Umkehrfunktionen besitzen. Diese Umkehrfunktionen

bzw.

werden Arkussinus bzw. Arkuskosinus genannt. Der Name rührt daher, dass sich deren Wert nicht nur als Winkel, sondern auch als Länge eines Kreisbogens (Arcus bedeutet Bogen) interpretieren lässt.

In der Analysis ist die Angabe des Wertebereichs im Bogenmaß richtig, da die Winkelfunktionen dort für das Bogenmaß definiert sind:

bzw.

Eine andere Interpretation des Wertes als doppelter Flächeninhalt des dazugehörigen Kreissektors am Einheitskreis ist ebenfalls möglich; diese Interpretation ist insbesondere für die Analogie zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen nützlich.

Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:

, denn für gilt und .
, denn für gilt und .
, denn für gilt und .
, denn für gilt und .

Stetigkeit

Da die Sinusfunktion

und die Kosinusfunktion

monoton, surjektiv und invertierbar sind, folgt, dass sie in diesen Quadranten stetig sind. Da die Funktionen in den anderen Quadranten lediglich gespiegelt bzw. periodisch fortgesetzt sind, sind die Sinus- und Kosinusfunktion für alle reellen Argumente stetig.

Zusammenhang mit dem Skalarprodukt

Der Kosinus steht in enger Beziehung mit dem Skalarprodukt zweier Vektoren und :

,

das Skalarprodukt ist also die Länge der Vektoren multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. In endlichdimensionalen Räumen lässt sich diese Beziehung aus dem Kosinussatz ableiten. In abstrakten Vektorräumen mit innerem Produkt wird über diese Beziehung der Winkel zwischen Vektoren definiert.

Zusammenhang mit dem Kreuzprodukt

Der Sinus steht in enger Beziehung mit dem Kreuzprodukt zweier dreidimensionaler Vektoren und :

wobei
mit

Additionstheoreme

Die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen

erhält man relativ einfach und einsichtig aus der Flächenformel des allgemeinen Dreiecks, zerlegt in zwei rechtwinklige Dreiecke mit gemeinsamer Höhe h und den Teilwinkeln α und β

andererseits ergibt diese Zelegung:

.

Hieraus folgt das Additionstheorem für den Sinus. Setzen wir darin für , so ergibt sich wegen und das Additionstheorem für den Kosinus.

Ein alternativer Beweis ist mit Hilfe des Skalarproduktes möglich:

Die Vektoren und der Länge 1 schließen den Winkel α − β ein; mit dem Skalarprodukt folgt also das Additionstheorem für den Kosinus:

.

Die Vektoren und der Länge 1 schließen den Winkel α + β ein; mit dem Skalarprodukt folgt also

.

Aus und erhält man die Additionstheoreme für den Sinus:

sowie

.

Setzt man in diesen Beziehungen u = α + β und v = α − β (beziehungsweise und), so erhält man durch Addition bzw. Subtraktion je zweier Additionstheoreme

,
,
und
.

Weitere Identitäten finden sich in der Formelsammlung Trigonometrie.

Ableitung (Differenzierung) und Integration von Sinus und Kosinus

Differenzierung

Wird im Bogenmaß angegeben, so gilt für die Ableitung der Sinusfunktion [3]

Aus und der Kettenregel erhält man die Ableitung des Kosinus:

und daraus die zweite Ableitung des Sinus:

.

Die dritte Ableitung ist daher

.

und die vierte Ableitung ist wieder die Sinusfunktion selbst:

.

In weiterer Folge erhält man daraus für die 4n + k-te Ableitung des Sinus

und für die 4n + k-te Ableitung des Kosinus

Wird der Winkel α in Grad gemessen, so kommt nach der Kettenregel bei jeder Ableitung ein Faktor dazu, also beispielsweise . Um diese störenden Faktoren zu vermeiden, wird in der Analysis der Winkel ausschließlich im Bogenmaß angegeben; die Angabe von Winkel in Grad ist allerdings anschaulicher und daher bei geometrischen Überlegungen zweckmäßiger.

Integration

Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich unmittelbar die Stammfunktion von Sinus und Kosinus im Bogenmaß:

Analytische Definition

Obige Definitionen des Sinus und des Kosinus beinhalten geometrische Überlegungen. Geometrie wird häufig naiv-intuitiv und nicht auf axiomatischer Basis behandelt. Sinus und Kosinus spielen aber auch eine wichtige Rolle in der Analysis, in der ein viel formalerer Zugang zweckmäßig ist. Daher sind die geometrischen Definitionen für die Analysis nicht ausreichend, und es wird eine analytische Definition benötigt. Auf Basis einer streng formalisierten Geometrie lässt sich zwar die Äquivalenz der geometrischen und der analytischen Definition zeigen; auf Basis einer naiven Geometrie sind die geometrischen Überlegungen allerdings lediglich als Heuristik zur Begründung der analytischen Definition zu betrachten.

Die analytische Definition erlaubt zusätzlich die Erweiterung auf komplexe Argumente. Sinus und Kosinus als komplexwertige Funktion aufgefasst sind holomorph und surjektiv.

Für die analytische Definition gibt es in der Literatur keinen einheitlichen Zugang; es sind mehrere äquivalente Varianten verbreitet. In jeder dieser Varianten ist der Winkel im Bogenmaß; bei Angabe des Winkels in Grad würden störende Faktoren dazukommen.

Definition als Taylorreihe

Mit Hilfe der aus geometrischen Überlegungen berechneten Ableitung des Sinus gilt für die 4n + k-te Ableitung an der Stelle 0

Daraus ergibt sich folgende Taylorreihenentwicklung um x = 0:

Für die aus geometrischen Überlegungen berechneten Ableitung des Kosinus gilt für die 4n + k-te Ableitung an der Stelle 0

Daraus ergibt sich folgende Taylorreihenentwicklung um x = 0:

Mit dem Quotientenkriterium lässt sich zeigen, dass diese Potenzreihen für jede komplexe Zahl x absolut und in jeder beschränkten Teilmenge der komplexen Zahlen gleichmäßig konvergieren. Diese unendlichen Reihen verallgemeinern also die Definition des Sinus und des Kosinus von reellen auf komplexe Argumente. In der Analysis werden die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion häufig mittels dieser Reihenentwicklung definiert. Auch π wird dort üblicherweise nicht geometrisch, sondern beispielsweise über diese Reihe und die Beziehung als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion definiert.

Für kleine Werte zeigen diese Reihen ein sehr gutes Konvergenzverhalten. Zur numerischen Berechnung kann man daher die Periodizität und Symmetrie der Funktionen ausnutzen und den x-Wert bis auf den Bereich − π / 4 bis π / 4 reduzieren (siehe Reduktionsformel). Danach sind für eine geforderte Genauigkeit nur noch wenige Glieder der Reihe zu berechnen. Das Taylorpolynom der Kosinusfunktion bis zur vierten Potenz z. B. hat im Intervall [ − π / 4,π / 4] einen relativen Fehler von unter 0,05 %. Im Artikel Taylor-Formel sind einige dieser so genannten Taylorpolynome grafisch dargestellt und eine Näherungsformel mit Genauigkeitsangabe angegeben. Zu beachten ist allerdings, dass die Teilsummen der Taylorpolynome nicht die bestmögliche numerische Approximation darstellen; beispielsweise in Abramowitz-Stegun finden sich Näherungspolynome mit noch kleinerem Approximationsfehler.[4]

Beziehung zur Exponentialfunktion

Die trigonometrischen Funktionen sind eng verbunden mit der Exponentialfunktion. Dieser Ansatz führt zum einen Sinus und Kosinus auf nur eine Reihe zurück, und ist aus der Eulerformel

.

motiviert:

Für eine reelle Zahl ist also der Realteil und der Imaginärteil der komplexen Zahl .

Für beliebige komplexe Zahlen z definiert man dann

und

Man kann aber auch den Sinus wie oben als Taylorreihe definieren und dann die Übereinstimmung mit dieser Definition zeigen.

Ausgehend von dieser Definition lassen sich sehr leicht die Eigenschaften des Sinus und die Additionstheoreme des Sinus und Kosinus nachweisen.

Definition über analytische Berechnung der Bogenlänge

Die Definition des Sinus und Kosinus als Taylorreihe liefert keinen analytischen Beweis der Differenzierbarkeit des Sinus und Kosinus, sondern setzt die Differenzierbarkeit letztlich axiomatisch voraus. Die Definition mit Hilfe der Exponentialfunktion hat das selbe Problem, versteckt es allerdings im Beweis der Eulerformel.

Ein echter analytischer Beweis der Differenzierbarkeit des Sinus und Kosinus erfordert, dass die geometrische Definition des Sinus und Kosinus zuerst analytisch formalisiert wird. Dies ist möglich, indem man den Einheitskreis beispielsweise als

parametrisiert. Die Länge dieser Kurve wird auch als Bogenlänge bezeichnet und berechnet sich als

Wie leicht zu zeigen ist, ist ungerade, stetig, streng monoton wachsend und beschränkt. Da die gesamte Bogenlänge dem Kreisumfang entspricht, folgt, dass das Supremum von gleich ist; wird bei dieser Vorgangsweise also analytisch als Supremum von definiert.

Die Funktion

ist auch differenzierbar:

.

Weil sie stetig und streng monoton wachsend ist, ist sie auch invertierbar, und für die Umkehrfunktion

gilt

.

Mit Hilfe dieser Umkehrfunktion lassen sich nun Sinus und Kosinus als - und -Komponente von analytisch definieren:

sowie

.

Bei dieser Definition des Sinus und Kosinus über die analytische Berechnung der Bogenlänge werden die geometrischen Begriffe tatsächlich sauber formalisiert. Sie hat allerdings den Nachteil, dass im didaktischen Aufbau der Analysis der Begriff der Bogenlänge erst sehr spät formal eingeführt wird und daher Sinus und Kosinus erst relativ spät verwendet werden können.

Definition als Lösung einer Funktionalgleichung

Eine anderer analytischer Zugang ist, Sinus und Kosinus als Lösung einer Funktionalgleichung zu definieren, die im Wesentlichen aus den Additionstheoremen besteht: Gesucht ist ein Paar stetiger Funktionen , das für alle die Gleichungen

und

erfüllt. Die Lösung definiert dann den Sinus, die Lösung den Kosinus. Um Eindeutigkeit zu erreichen, sind einige Zusatzbedingungen zu erfüllen. In Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1 wird zusätzlich gefordert, dass

eine ungerade Funktion,
eine gerade Funktion,
und

gilt. Bei diesem Zugang wird offensichtlich die Differenzierbarkeit des Sinus vorausgesetzt; wird in weiterer Folge analytisch als das doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus definiert. Verwendet man den Zugang von Leopold Vietoris[5] und berechnet die Ableitung des Sinus aus den Additionstheoremen, so ist es zweckmäßiger, auf geeignete Weise analytisch (beispielsweise als Hälfte des Grenzwerts des Umfangs des dem Einheitskreis engeschriebenen -Ecks) zu definieren und dann die Differenzierbarkeit der Lösung dieser Funktionalgleichung zu beweisen. Als Zusatzbedingung zu den Additionstheoremen fordert man dann beispielsweise

,
, und
für alle .

Unter den getroffenen Voraussetzungen ist die Eindeutigkeit der Lösung der Funktionalgleichung relativ einfach zu zeigen; die geometrisch definierten Funktionen Sinus und Kosinus lösen auch offensichtlich die Funktionalgleichung. Die Existenz einer Lösung lässt sich analytisch beispielsweise nachweisen, indem man zeigt, dass die Taylorreihen von Sinus und Kosinus oder eine andere der oben verwendeten analytischen Darstellungen von Sinus und Kosinus die Funktionalgleichung tatsächlich lösen.

Produktentwicklung

ist dabei im Bogenmaß anzugeben.

Anwendungen

Geometrische Anwendungen

Mit der Definition des Sinus können auch im nicht rechtwinkligen Dreieck Größen, speziell die Höhen, berechnet werden; ein Beispiel ist die Berechnung von hc im Dreieck ABC bei gegebener Länge a = 5,4 und Winkel :

Andere wichtige Anwendungen sind der Sinussatz und der Kosinussatz.

Fourierreihen

Im Hilbertraum der auf dem Intervall bezüglich des Lebesgue-Maßes quadratisch integrierbaren Funktionen bilden die Funktionen

ein vollständiges Orthogonalsystem, das sogenannte trigonometrische System. Daher lassen sich alle Funktionen als Fourierreihe

darstellen, wobei die Funktionenfolge in der L2-Norm gegen konvergiert.

Physikalische Anwendungen

In der Physik werden Sinus- und Kosinusfunktion zur Beschreibung von Schwingungen verwendet. Insbesondere lassen sich durch die oben erwähnten Fourierreihen beliebige Signale als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen, siehe Fourieranalyse.

Siehe auch

Literatur

Einzelnachweise

  1. Josef Laub (Hrsg.) Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen. 2. Band.. Hölder-Pichler-Tempsky, 2. Auflage, Wien 1977. ISBN 3-209-00159-6, S. 207.
  2. Emil Artin: Galoissche Theorie. Verlag Harri Deutsch, Zürich 1973, ISBN 3-87144-167-8, S. 85.
  3. Wikibooks: Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion
  4. Milton Abramowitz und Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 4.3.964.3.99
  5. Leopold Vietoris, Vom Grenzwert . Elemente Math. 12 (1957)