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Direkte Summe

Der Begriff der direkten Summe in der Mathematik wird zwischen äußerer und innerer direkter Summe unterschieden.

Inhaltsverzeichnis

Äußere direkte Summe

Als äußere direkte Summe bezeichnet man in der Mathematik das kartesische Produkt zweier Vektorräume, abelscher Gruppen oder Moduln. Diese Produktmenge wird wieder zu einem Vektorraum, bzw. abelsche Gruppe, bzw. Modul mit punktweiser Addition und punktweiser skalarer Multiplikation. (Im Folgenden werden wir uns der Einfachheit halber nur mit dem Fall von Vektorräumen beschäftigen, für abelsche Gruppen und Moduln geht dies aber analog.) Die direkte Summe wird mit dem Verknüpfungszeichen geschrieben.

Definition

Sei eine Familie von Vektorräumen. Dann heißt

die äußere direkte Summe der Familie , wobei das direkte Produkt von Vektorräumen ist.

Im endlichen Fall ergibt sich also z.B.

Die Unterscheidung zwischen direkter Summe und direktem Produkt ist somit nur bei unendlicher Indexmenge notwendig.

Außerdem gilt bei einer solchen direkten Summe von endlich vielen (hier zwei) Vektorräumen, dass die Dimension der Summe gleich der Summe der Dimensionen von V1 und V2 ist.

Innere direkte Summe

Bei einer Familie von Unterräumen des Vektorraumes V, heißt V innere direkte Summe von Ui falls jedes eindeutig aus der Summe endlich vieler gebildet werden kann. D.h.

.

Wie die äußere Summe wird auch die innere wie folgt symbolisiert:

oder im endlichen Fall

Im Spezialfall nennt man U1 und U2 zueinander komplementär. Und es gilt

.

Zusammenhang

Man beachte: die äußere Summe von Unterräumen kann immer gebildet werden, aber die innere Summe von Unterräumen ist meist nicht direkt.

Den Bezug zwischen innerer und äußerer Summe kann man durch folgenden Trick herstellen.

Man konstruiert eine Abbildung für jedes Vj (die Summanden der äußeren Summe):

für i = j und vi = 0 für

Die innere direkte Summe der Bilder dieser Abbildungen bildet dann die äußere direkte Summe.